O wskazanych przez Ch. Hartshorne’a
modalnych krokach w dowodzie ontologicznym św. Anzelma [1]
Jerzy Perzanowski
1. Anzelmiański dowód ontologiczny z Proslogion III ma kilka odrębnych składowych, m. in. składową ontyczną związaną z użytymi w nim pojęciami (bytu, doskonałości, istnienia itp.); składową porządkową wiążącą się z leżącą u podstaw Dowodu relacją “bycia doskonalszym”, typem pochodnej struktury porządkowej wraz z zagadnieniem istnienia obiektów maksymalnych w tej strukturze, oraz – last, not least -składową modalną związaną z użytymi w Dowodzie modalnościami logicznymi i ontologicznymi.
Z tą ostatnią składową wiąże się też podstawowa dla trafności Argumentu kwestia: czy byt najdoskonalszy jest możliwy?
2. Wagę składowej modalnej rozpoznał Leibniz w swej klasycznej krytyce kartezjańskiej wersji Dowodu (por. Leibniz [4]). Kwestii podstawowej – możliwości bytu najdoskonalszego -poświęcił zaś Leibniz wiele czasu i uwagi, kilkakrotnie atakując ją z zasługującym na uwagę skutkiem. [2]
Źle to, doprawdy, świadczy o filozofach, iż en gros lekceważą sobie oni wyniki nawet najwybitniejszych przedstawicieli swej dyscypliny, często o nich – po prostu – nie pamiętając.
Tak też jest i w przypadku wspomnianych osiągnięć Leibniza.
3.Tym bardziej docenić trzeba zasługę Ch. Hartshorne’a, który w [3] i kilku pismach pochodnych ożywił problematykę składowej modalnej argumentu ontologicznego, uświadamiając filozofom analitycznym jej rolę i wagę.
Szkoda tylko, że przy tej okazji sam Hartshorne i liczni jego komentatorzy fałszywie rozłożyli akcenty uwagę koncentrując na banalnej z punktu widzenia logiki modalnej kwestii poprawności samego rozumowania Anzelma – Hartshorne’a, nie zaś na zgoła nietrywialnej kwestii Leibniza możliwości (istnienia) bytu najdokonalszego.
Teoria Anzelma – Hartshorne’a AH
4. Rozumowanie Hartshorne’a w istocie zarysowuje miniteorię bytu najdoskonalszego.
W teorii tej jako narzędzie dowodów wybiera się rachunek modalny S5, który jest najsilniejszym z klasycznych systemów Lewisa. Jest on systemem dobrze znanym i przebadanym (por. Chellas [2]). Pojawia się w kilku wersjach – Hartshorne używał wersji czysto odrywaniowej, w której podstawową stałą logiczną jest implikacja ścisła Ţ.
5. Dla prześledzenia poniższych wywodów czytelnik zapamiętać zechce:
a) Symbolikę: Litery p, q, r, …. z ewentualnymi indeksami oznaczają zmienne zdaniowe, podczas gdy A, B, C, …. (także z ewentualnymi indeksami) są metazmiennymi oznaczającymi formuły.
Formuły tworzymy w sposób zwykły ze zmiennych zdaniowych za pomocą stałych logicznych: funktorów klasycznych ¬ (negacji), Ů (koniunkcji), Ú (alternatywy), ® (implikacji materialnej) i « (równoważności materialnej), oraz funktorów modalnych Ţ (implikacji ścisłej), Ű (równoważności ścisłej), L (konieczności), M (możliwości).
b) To, że S5 zawiera Klasyczny Rachunek Zdań KRZ jako swą podlogikę.
c) Iż wśród twierdzeń S5 są:
(A*) LA Ű ¬M¬A związki Arystotelesa wiążace
MA Ű ¬L¬A konieczność z możliwością
(T*) LA Ţ A aksjomaty systemu T,
A Ţ MA który jest podlogiką S5
(5*) MLA Ţ LA aksjomaty specyficzne S5
¬LA Ţ L¬LA
MA Ţ LMA
(B*) MLA Ţ A aksjomaty systemu KB,
A Ţ LMA który jest podlogiką S5
(4*) LA Ţ LLA aksjomaty systemu K4,
MMA Ţ MA który jest podlogiką S5
Zauważmy, iż na gruncie (A*) formuły w (T*) – (4*) są w odpowiednich układach wzajem inferencyjnie równoważne.
Umawiamy się, iż wersje powyższych aksjomatów wyrażone z użyciem implikacji (równoważności) materialnej zamiast ścisłej oznaczamy tymi samymi literami bez gwiazdki, np. (T) LA ® A.
(d) Iż zbiór twierdzeń S5 jest domknięty na:
Regułę odrywania RO A, A ® B / B
Regułę ścisłego odrywania ROS A, A Ţ B / B bądź A, L(A ® B) / B
Regułę Gödla RG A / LA
Regułę opuszczania konieczności RL- LA / A
Regułę Beckera RB MLA / A
Regułę Monotoniczności RM A ® B / LA ® LA oraz
Regułę Ekstensjonalności RE A « B / LA « LB
Systemy domknięte na RG nazywamy systemami normalnymi, domknięte na RM -systemami monotonicznymi, systemy domknięte na RE zwane zaś są systemami ekstensjonalnymi (kongruencyjnymi).
Logikami są te systemy, które są domknięte na podstawianie formuł za zmienne zdaniowe.
S5 jest więc zarazem logiką normalną, monotoniczną i (a fortiori) ekstensjonalną.
6. Przechodząc do prezentacji teorii AH przypomnijmy, iż Hartshorne w istocie przyjmuje trzy aksjomaty (w tym jedną definicję).
Dla wyrażenia definicji wzbogaćmy język o stałą zdaniową a, którą czytamy: Byt najdoskonalszy istnieje. Tak więc
(D1) a := Byt najdoskonalszy istnieje
Przyjmujemy dwa dalsze aksjomaty:
(AA) a Ţ La
Zasada Anzelma: Istnienie bytu najdoskonalszego nie jest przygodne; czyli jeśli byt najdoskonalszy istnieje, to istnieje koniecznie.
(AM) ¬L¬a
Aksjomat możliwości (istnienia) bytu najdoskonalszego: Istnienie bytu
najdoskonalszego nie jest niemożliwe. Jest więc ono możliwe.
Zauważmy wymowę tych aksjomatów. (AA) wyraża jedną z podstawowych intuicji filozoficznej teorii Boga – iż jest On bytem koniecznym. Aksjomat (AM) zakłada zaś dokładnie to, co według przytoczonej na początku uwagi Leibniza jest kluczowym punktem całego Dowodu, wymagającym szczegółowego uzasadnienia.
Aksjomat możliwości (AM) nie jest ani oczywisty, ani też łatwy w dowodzie. Z trzech dowodów które znam – oryginalnego dowodu Leibniza z 1676 r. oraz dwu dowodów rozwijających dwie różne wskazówki Leibniza (por. [6]) – żaden nie jest trywialny.
7. Głównym wynikiem teorii AH jest dowód twierdzenia o istnieniu bytu najdoskonalszego.
(T1) a Byt najdoskonalszy istnieje.
Dowód Hartshorne’a można przedstawić jak następuje: Wychodząc od prawa wyłączonego środka w stosownej postaci
(i) LaÚ¬La
i używając aksjomatu (5*) system S5:
(ii) ¬La Ţ L¬La
oraz stosując (T*) i regułę odrywania dla implikacji ścisłej otrzymujemy
(iii) ¬La ® L¬La.
Stąd oraz z (i), środkami KRZ, uzyskujemy
(iv) LaÚL¬La.
Z kolei, stosując regułę monotoniczności RM do aksjomatu (AA) w postaci skontraponowanej mamy
(v) L¬La Ţ L¬a.
Sposobem zastosowanym poprzednio do dowodu (iv), z (iv) oraz (v) uzyskujemy
(vi) LaÚL¬a.
Odwołując się teraz do aksjomatu (AM), poprzez prawo sylogizmu alternatywnego uzyskamy
(vii) La
skąd w końcu, przez aksjomat (T*), otrzymujemy tezę
(viii) a. QED
8. Zauważmy najpierw, że mimochodem udowodniliśmy dwa inne zasługujące na uwagę twierdzenia:
(T2) LaÚL¬a Nie jest przypadkowe to, że byt najdoskonalszy istnieje.
Co więcej
(T3) La Koniecznym jest, że byt najdoskonalszy istnieje.
Na gruncie użytego przez Hartshorne’a systemu S5 z twierdzeń tych można też łatwo otrzymać
(T4) La Ű a oraz a Ű Ma
Istnienie bytu najdoskonalszego równoważne jest temu, że konieczne, iż byt najdoskonalszy istnieje oraz temu, że możliwe, iż byt najdoskonalszy istnieje.
Teoria AH, startując co prawda od silnych aksjomatów, ma więc nieliche twierdzenia.
9. Jej krytyka w sposób naturalny koncentruje się na dwu kwestiach: zasadności aksjomatów specyficznych (AA) oraz (AH) oraz sprawie samego uzasadnienia.
Czy może być ono uproszczone? Czy sugerowany przez dowód Hartshorne’a związek Argumentu z systemem S5 jest istotny?
Niżej rozważę te pytania i pokaże, że odpowiedź na pierwsze z nich brzmi TAK, na drugie zaś – w całej ogólności – NIE, choć związek niektórych formuł i reguł uwikłanych w Dowodzie z logiką S5 jest daleko idący.
Komentarz logiczny
Dotyczy strony formalnej AH – wnioskowań, nie zaś trafności (mocniej – prawdziwości) przesłanek.
Wnioskowani
10. Samo wnioskowanie Hartshorne’a jest bez zarzutu. Wydaje się tylko zbyt skomplikowane i może być, na różne sposoby, uproszczone i zgeneralizowane.
11. Zacznijmy od kilku wstępnych ustaleń. Rozważana teoria AH nie jest teorią logiczną, lecz onto-logiczną; logika, na której się ona opiera nie jest czystą logiką modalną, lecz logiką stosowaną, wyrażoną w języku specyficznym ze stała a.
Aby to wyrazić, przyjmijmy w ogólności, że Qa jest a wersją danej logiki modalnej Q, czyli zespołem Q – twierdzeń i Q – reguł stosownie podstawionych.
Z każdą logiką Q możemy związać stosowną AH – teorię QAH kładąc QAH := Qa[AA, AM]. [3]
W naszej notacji mamy teraz, że AH := S5aAH; wszak AH jest AH – teorią nadbudowaną nad S5.
Pytając najogólniej o zasięg wyniku Hartshorne’a zapytajmy teraz: dla których Q, QAH inferuje a: QAH _ a ?
12. Prowadzi to bezpośrednio do badania Reguły Anzelma – Hartshorne’a
RAH MA, A ® LA / A
ponieważ obowiązuje
(1) W QAH twierdzeniem jest a, o ile RAH jest Q dowiedlne: Q _ RAH, to QAH _ a.
Przypomnijmy, że dana reguła sekwentowa R: A1,…,An / A jest Q – dowiedlna (Q _ R) jeżeli na gruncie Q z A1,…,An wynika A: Q, A1,…,An _ A.
Widać teraz oczywistość (1), skoro QAH _ a oznacza Qa dowiedlność specjalnego sekwentu reguły RAH: .
13. Zauważmy dalej, iż Q dowiedlność RAH jest, m. in., skutkiem Q dowiedlności “Brouwerowskiej” reguły Beckera RB z §5:
(2) Dla dowolnej logiki monotonicznej Q, RAH jest Q dowiedlny, o ile tylko RB jest Q dowiedlny: jeżeli Q _ RB, to Q _ RAH.
W rzeczy samej, założywszy MA oraz A ® LA przez regułę monotoniczności RM uzyskujemy MA ® MLA, skąd poprzez odrywanie mamy MLA. Stosując teraz RB otrzymujemy A, qed.
Reguła RB obowiązuje zaś dość szeroko. Między innymi
(3) Jeżeli Q jest logiką monotoniczną zawierającą aksjomat (B) MLA ® A, to RAH jest Q dowiedlna.
A fortiori QAH implikuje a: Q Î MON & Q _ B, to QAH _ a.
Powyższe twierdzenie zasiegiem swym obejmuje AH (ponieważ S5 _ B) oraz continuum innych B – logik.
Można więc rzec, iż jest bardzo dużo logik, także słabszych od S5 (skoro KB jest właściwą podlogiką KB, zob. [2]), oparwszy się na których uzyskać można główne twierdzenie AH.
14. Druga idea dowodu (T1) płynie ze zwrócenia uwagi na wiersz (vi) dowodu Hartshorne’a, czyli na twierdzenie (T2).
Jest ono szczególnym przypadkiem aksjomatu racjonalizmu ontologicznego głoszącego, iż w ontologii (przestrzeni ontologicznej) nic nie jest przygodne
(R) ¬KA
gdzie funktor przygodności K określono wg recepty Arystotelesa na przypadkowość dwustronną (symetryczną)
KA := MAŮM¬A A jest przygodne, gdy możliwe, że A oraz możliwe, że nie – A.
Widać, że R jest równoważne formule MA ® LA, czyli L¬AÚLA.
Aksjomat R wyznacza logikę normalną KR zależności funkcyjnych miedzy możliwymi światami. Ma ona nieskończenie wiele nadlogik, z których wiele domkniętych jest na regułę opuszczania konieczności RL-.
Przez prostą inspekcję ostatniej części dowodu Hartshorne’a otrzymujemy
(4) Jeżeli Q jest normalną nadlogiką KR domkniętą na RL-, to w QAH wydedukować można cztery podstawowe twierdzenia AH: QAH _ a, La, ¬Ka, a « La, a « Ma.
Logikami stosownymi są, na przykład, logiki cyklów skończonych, w tym TR oraz TV := K[A ® LA].
15. Trzecia droga dowodu (T1) wychodzi od spostrzeżenia, że w każdej logice modalnej Q respektującej związki Arystotelesa (A) zachodzi
(5.1) Q _ p ® Lp wtw Q _ Mp ® p.
Stąd, poprzez uszczegółowienie, mamy
(5.2) Qa _ a ® La wtw Qa _ Ma ® a.
15.1 Gdyby więc AA było twierdzeniem pewnej stosowanej logiki modalnej Qa spełniającej powyższe założenia dotyczące Q, to
(6) QAH równałoby sie wzbogaceniu Qa o AM, stwierdzenie a byłoby zaś w niej inferowalne: QAH = Qa[Ma] oraz QAH _ a.
15.2 Jednakże logiki Q spełniające Qa _ AA są dość rzadkie. Jedynym oczywistym kandydatem jest wspomniany już system TV, w którym AA pojawia się jako podstawienie aksjomatu p ® Lp.
Logika TV jest interesująca zarówno z powodów logicznych, jak i filozoficznych.
Primo, TV jest przecięciem dwu logik kluczowych TR i VER: TV = TRÇVER, które są jedynymi maksymalnie niesprzecznymi normalnymi K – logikami (zob. [5], §20).
Secundo, wziąwszy tym razem pod uwagę ideę przypadkowości jednostronnej (po prostu – przypadkowości) Arystotelesa mówiacą, że przypadkowe jest to, co jest ale może nie być:
K°A := AŮM¬A
widzimy, że aksjomat TV równoważny jest temu, że w ontologii nic nie jest przypadkowe, tzn. TV = K[¬K°p].
Aksjomat Anzelma AA zaś to głęboko racjonalistyczne stwierdzenie, iż istnienie Boga nie jest przypadkowe: ¬K°a.
Przypomnijmy, że TV jest nadlogiką KR. Na mocy więc (4) twierdzenia AH dedukowalne są w teorii opartej na rachunku, który jest domknięciem TV na regułę opuszczania konieczności RL-. Jest nim logika kluczowa TR. Mamy więc
(8) TRAH _ a, La, ¬Ka, ¬K°a, etc.
Prawda to doprawdy nieciekawa, skoro
(9) TRa _ a « La oraz a « Ma.
Lepsza jednak nieciekawa prawda, niż ciekawy fałsz.
16. Idąc dalej trzecią drogą dowodu (T1) możemy starać się kluczową dla niej równoważność z (5.1) wyrazić jako twierdzenie logiki Q bedącej podstawą tego dowodu. Zrobić to można na dwa sposoby.
16.1 Wyrażając ją jako równoważność materialną stosownych implikacji materialnych, czyli wskazując Q takie, że Q _ (p ® Lp) « (Mp ® p).
Nie uzyskamy tu nic nowego, skoro
(10) Q _ (p ® Lp) « (Mp ® p) wtw Q _ p ® Lp, tj. Q = TV.
Implikacja lewostronna jest trywialna. Dla uzasadnienia implikacji odwrotnej zauważmy, że (p ® Lp) ® (Mp ® p) jest równoważne temu, że Mp ® ((p ® Lp) ® p), co – z uwagi na prawo Peirce’a – daje Mp ® p, qed.
16.2 Rozważmy teraz osłabienie rozważanej równoważności przez zastosowanie RM do formuły dotąd rozważanej i w konsekwencji zapytajmy o Q takie, że
Q _ L(p ® Lp) « L(Mp ® p).
Rozważać w ten sposób zaczniemy formułę
(P) L(p ® Lp) « L(Mp ® p),
która jest jednym z ważniejszych aksjomatów modalnych, o nie byle jakich walorach logicznych. [4]
Formułę P, która jest twierdzeniem S5, za podstawę swej modyfikacji teorii Hartshorne’a AH wziął R. A. Purtill [9].
Istotnie, P wraz z regułą ścisłego odrywania RSO pozwala natychmiast uzyskać twierdzenie (T1). W rzeczy samej
(11) Jeżeli Q jest logiką normalną taką, że Q _ P oraz RSO jest Q – dowiedlna, to QAH _ a.
Pamiętając, że w klasie logik ekstensjonalnych dowiedlność RSO jest równoważna dowiedlności RL-:
(12) Jeżeli Q jest logiką ekstensjonalną, to Q _ RSO wtw Q _ RL-
oraz z cytowanej pracy [8] otrzymujemy
(13) S5 jest najmniejszą K – logiką normalną zawierająca P, w której RSO jest dowiedlne: Q _ P, RSO wtw S5ŁQ.
S5 wiąże się więc istotnie z AH dopiero w dowodzie Purtilla – jest bowiem, jak stwierdziliśmy wyżej, najmniejszą logiką normalną, w której twierdzenie (T1) jest skutkiem bezpośredniego ścisłego odrywania w podstawieniu P: L(a ® La) ®
L(Ma ® a).
Zauważmy, iż ów związek z S5 nie dotyczy P samego, lecz P wraz z RSO. Ani RSO samo nie wiąże się z S5 (skoro jest dowiedlne już we wszystkich T – logikach), ani też aksjomat P nie jest istotnie związany z S5. W [8] pokazuję, że logika modalna przez niego wyznaczona jest właściwą podlogiką S5 oraz pokazuję, że na gruncie K formuła P wiąże się – tym razem istotnie – z aksjomatem (4) i formułą LB: L(MLA ® A).
17. Wrócmy do oryginalnego dowodu Hartshorne’a. Jest on ściśle związany z S5 i wyraźnie wykorzystuje obie składowe S5.
Aby to uzasadnić przypomnijmy, że S5 = T5. Istotnie, używając oznaczeń oraz konwencji z §5 mamy S5 := K[T, 5] = T[5] = T5.
Przyglądając się powtórnie rozumowaniu Hartshorne’a widzimy, że aksjomat (5) oraz słabsza od niego na terenie T formuła (B) są użyte dla uzasadnienia, że Ma ® La; aksjomat (T) zaś oraz AA dają razem a « La. Stąd odrazu mamy, że Ma ® a, co – na podstawie AM przez RO – implikuje a.
Jasnym jest więc, że oś wnioskowania Hartshorne’a podpada pod drugą z opisanych dróg, skoro eksploatujemy specjalny przypadek aksjomatu (R), mianowicie Ma ® La, czyli L¬aÚLa; użycie zaś aksjomatu (T) można zastąpić zastosowaniem słabszej odeń reguły RL-.
Odwołanie sie więc w rozumowaniu Harthorne’a do S5 jest nieistotne – wszak rozumowanie o tej samej osi krystalicznie klarowne staje się na innym gruncie, oraz mylące – bo zaciemnia związek Dowodu Anzelma z racjonalizmem ontologicznym, którego wyrazem jest, między innymi, aksjomat (R).
Refleksje metalogiczne
Niesprzeczność
18. Rozważana teoria AH jest dobrze skonstruowana z punktu widzenia metalogiki.
Czas na pytanie: czy jest ona niesprzeczna?
Niesprzeczność, jak wiadomo, jest pożądaną własnością teorii formalnych. Stąd waga pytania.
19. Kwestia niesprzeczności AH jest dość delikatna. Przypomnijmy najpierw, że w przypadku klasycznym niesprzeczność ustalić można na dwa sposoby: syntaktycznie – interpretując badaną teorię w teorii niesprzecznej w sposób zachowujący wywiedlność, oraz semantycznie – pokazując, że badana teoria ma model.
Przypomnijmy też, że QAH := Qa[AA,AM]. Pytając o niesprzeczność QAH pytamy więc o niesprzeczność Qa wraz z AA oraz AM.
20. Wiadomo, że normalne K – logiki mają dokładnie dwa maksymalnie niesprzeczne rozszerzenia: TR := K[LA « A] oraz VER := K[LA]. Znaczy to, że dla dowolnej logiki Q z rozpatrywanej rodziny, QŁTR lub QŁVER. Stąd
(14) Qa Ł TRa bądź Qa Ł VERa.
Dlatego w przypadku normalnych K – logik niesprzeczność aksjomatu Anzelma nie nastręcza żadnego kłopotu.
(15) Dla dowolnej niesprzecznej, normalnej K – logiki Q, Qa[AA] jest niesprzeczny.
AA jest bowiem twierdzeniem zarówno TRa, jak i VERa, przez (14) zaś Qa[AA]ŁTRa bądź Qa[AA]ŁVERa.
21. Problem niesprzeczności QAH redukuje się więc do kwestii Qa niesprzeczności AM.
Rozważmy dwa przypadki:
21.1 VER jest jedyną maksymalnie niesprzeczną nadlogiką Q. W przypadku tym nieograniczone stosowanie reguły Gödla RG wyklucza niesprzeczność QAH.
Zauważmy najpierw, iż
(16) Teoria VERAH jest sprzeczna.
W rzeczy samej, VER _ ¬MA dla każdego A, a fortiori VERa _ ¬Ma, podczas gdy VERAH _ Ma, qed.
Dla niesprzeczności Argumentu Ontologicznego wybór logiki modalnej jako jego podstawy nie jest więc obojętny!
Z kolei, kryterium z zakresu topografii logik normalnych (por. [5], tw. 26) mówi, że
(17) VER jest jedynym maksymalnie niesprzecznym rozszerzeniem K – logiki normalnej Q wtw dla pewnego kł0, Q _ _(MiL^: 0ŁiŁk).
Jeżeli zaś w Qa[Ma] dopuścić nieograniczone stosowanie reguły Gódla RG, to (i) Qa[Ma] _ LiMa dla wszystkich ił0.
Azali K _ ¬M_ ® ¬MA, czyli Ka _ L^ ® ¬Ma, ponieważ L^ « ¬M_. Stąd Ka _ _(MiL^: 0ŁiŁk) ® _(Mi¬Ma: 0ŁiŁk).
Tak więc, na mocy (17), Qa _ _(Mi¬Ma: 0ŁiŁk), czyli Qa _ _(¬LiMa: 0ŁiŁk). To zaś jest sprzeczne z (i).
Uzyskaliśmy więc uogólnienie (16):
(18) Jeżeli VER jest jedynym maksymalnie niesprzecznym rozszerzeniem K – logiki normalnej Q oraz Qa[AM] domknięte jest na regułę Gödla RG, to Qa[AM] oraz, a fortiori, QAH są sprzeczne.
21.2 TR jest nadlogiką Q: Q Ł TR. W przypadku tym niesprzeczność QAH redukuje się do niesprzeczności TRAH, ta zaś z kolei sprowadza się do kwestii TRa niesprzeczności a bądź Ma:
(19) Jeżeli Q Ł TR, to QAH jest niesprzeczna wtw TRa[a] jest niesprzeczna
wtw TRa[Ma] jest niesprzeczna.
Wynika to stąd, że – jak wspomnieliśmy – AAÎTRa.
21.3 Rozważmy rzecz całą dokładniej, tym razem w terminach związku między niesprzecznością teorii a spełnialnością jej twierdzeń.
Nie wchodząc w szczegóły przypomnijmy, iż w językach zdaniowych, w jednym z których wyrażone są rozważane logiki modalne Q i nadbudowane nad nimi teorie QAH spełmialność formuły A oznacza, że jakieś wartościowanie v przeprowadza A w wartość logiczną prawdy 1, weryfikowalność zaś, iż każde wartościowanie przyporządkowuje A wartość 1. W sytuacji, gdy wartościowania indeksowane są indeksami z pewnego układu relacyjnego (światów możliwych) możemy mówić o prawdziwości formuły, o ile tylko jest ona zweryfikowana przez wszystkie wartościowania z indeksem (światem) wyróżnionym. Wyróżnionym – przy nastawieniu realistycznym – przez to, iż jest on Światem – tym jedynym światem, w którym jesteśmy.
Należy też pamiętać, iż w przypadku języków zdaniowych formuły zdaniowe tym różnią się od zdań, że z ich oceną logiczną związanych jest wiele wartościowań; podczas gdy dla zdań, które wszak nie zawierają zmiennych zdaniowych, spełnialność pokrywa się z weryfikowalnością.
Tak też jest i dla zdania a: jest ono spełnialne wtedy i tylko wtedy, gdy jest weryfikowalne; w przypadku zaś, gdy rozważamy indeks (świat) wyróżniony jego spełnialność oznacza prawdziwość.
Przypomnijmy wreszcie, iż zwykły dowód niesprzeczności danej teorii wymaga interpretacji tej teorii w teorii o której wiemy, że jest niesprzeczna; przy czym stosowne interpretacje szanować nuszą zarówno syntaksę języka (czyli być jego endomorfizmami), jak i stosunek wynikania wyznaczony przez logikę, na której badana teoria jest oparta.
Mając to wszystko w pamięci wykażemy twierdzenie
(20) Jeżeli Q jest normalną podlogiką TR, to QAH jest niesprzeczna wtw a jest weryfikowalna.
Dowód. Dla dowodu implikacji lewostronnej załóżmy, że zdanie a jest zweryfikowane przez, powiedzmy, wartościowanie v: v(a) = 1.
Rozważmy związaną z v interpretację i języka modalnego wzbogaconego o stałą a. Dla każdej formuły atomowej (czyli zmiennej zdaniowej badź a) imituje ona v, tzn. i(p) := _ wtw v(p) = 1 oraz i(a) := _ wtw v(a) = 1.
Mamy więc, że i(a) = _. Stąd, na mocy homomorficzności interpretacji i, i(Ma) = M_ oraz i(a®La) = _®L_ « L_. Azali M_, L_ Î TR oraz i(Qa)ÍQÍTR. Dlatego i(QAH)ÍTR, który jest niesprzeczny. QAH jest więc też niesprzeczny.
Dla dowodu implikacji odwrotnej załóżmy, że a nie jest weryfikowalne, czyli że a nie jest spełnialne. Znaczy to, że dla każdego wartościowania v, v(a) = 0, czyli v(¬a) = 1.
Biorąc stosowną interpretację i mamy, że i(a) := ^. Stąd i(Ma) = M^ = ¬L_. Ale Q jest logiką normalną. Stąd Q _ L_. Lecz i(L_) = L_. A więc i(QAH) jest sprzeczny.
Wszelako interpretacja i jest podstawieniem, QAH jest zaś zamknięte na podstawienia (jako, że QAH jest rozszerzeniem Qa, które jest uszczegółowieniem logiki Q, o aksjomaty AA i AM; tych zaś – jako zdań – nie można istotnie podstawić). Dlatego i(QAH)ÍQAH. Teoria QAH jest więc nadteorią teorii sprzecznej i dlatego sama jest sprzeczna, qed.
Zauważmy, że w powyższym dowodzie z założeń ogólnych poczynionych o Q korzystaliśmy z osobna: z tego, że QŁTR w dowodzie implikacji lewostronnej; z normalności Q zaś w dowodzie implikacji odwrotnej.
Twierdzenie (20) rzuca światło na korzyść płynącą z badania AH – teorii. Jeśli bowiem teoria QAH oparta na logice normalnej Q jest niesprzeczna, to badane w niej stwierdzenie a jest spełnialne – przyjąć można, że prawdziwe. Ustalenie więc niesprzeczności QAH pozwoliłoby na stwierdzenie spełnialności (prawdziwości) a.
Na odwrót, gdy Q jest podlogiką TR, a zaś jest spełnialne, to teoria QAH jest niesprzeczna. Ponieważ wiele takich logik pozwala w QAH wydedukować a, to stosując do nich powyższą obserwację otrzymujemy, że w ich przypadku spełnialność (prawdziwość) a implikuje dowiedlność a w stosownej niesprzecznej teorii.
Z badania AH – teorii możemy więc wyprowadzić wniosek o spęłnialności (prawdziwości) jej podstawowego twierdzenia.
22. Konkludując w obu przypadkach mamy, że interesujące nas teorie ontologiczne są niesprzeczne dopiero pod warunkiem niesprzeczności Ma: tego, że a możliwe – w pierwszym przypadku, oraz tego, że a, a fortiori tego, że Ma – w przypadku modalnych podlogik TR.
Formalizująca fragment dowodu ontologicznego teoria AH ma wartość tylko pod warunkiem, iż aksjomat AM jest niesprzeczny. Niesprzeczność zaś wiąże się z nożliwością. Czyli teoria AH jest metalogicznie poprawna wtedy tylko, gdy istnienie bytu najdoskonalszego jest możliwe.
I w tym, jak zauważył już Leibniz, leży punkt kluczowy dowodu ontologicznego.
Co wynika z zależności aksjomatów?
23. Zwykle zależy nam na niezależności aksjomatyki danej teorii. Zapytajmy więc, czy aksjomaty specyficzne teorii AH są niezależne; tzn. czy jest tak, że ani AA nie implikuje AM, ani na odwrót – AM nie implikuje AA?
Ogólnie biorąc – w zależności od wyboru logiki podstawowej – różnie może być. Po ustaleniu zaś tej logiki najczęściej nie wiadomo.
Wydaje się, że bez daleko idących założeń o logice bazowej Q oraz o naturze bytu najdoskonalszego trudno liczyć na rozstrzygnięcie tej kwestii.
24. Nota bene, wcale nie wiadomo, czy niezależność aksjomatów AA i AM jest pożądana.
Czy nie jesteśmy, na przykład, skłonni myśleć, że jeśli byt jest taki, że koniecznym jest, że istnieje, o ile istnieje, to możliwe, że byt ów istnieje? Czyli, czy (e(x) ® Le(x)) ®
Me(x)?, to jest – po stosownym podstawieniu – czy AA ® AM?
A może na odwrót: Czy nie jest tak, że jeśli możliwe jest, że x istnieje, to koniecznym jest to, że byt ów istnieje, o ile tylko istnieje? To jest, czy Me(x) ® (e(x) ® Le(x))?, czyli czy AM ® AA?
Rozważymy obie opcje.
25. Zacznijmy od drugiej z nich. Implikacja AM ® AA, czyli Ma ® (a ® La) prowadzi do (schematu) formuły
(R*) MA ® (A ® LA).
Ta zaś w klasie normalnych K – logik wyznacza system KR* := K[R*], który – co łatwo pokazać semantycznie – pokrywa się z KR:
(21) KR := K[MA ® LA] = K[MA ® (A ® LA)] =: KR*
KR zaś, jak pamiętamy, jest podwójnie wyróżniony: jako logika racjonalizmu ontologicznego i jako logika na terenie której, idąc drugą z rozważanych dróg Dowodu, rozumowanie jest proste i czyste.
Dodajmy, że rozważając (R*) ponownie obserwujemy, iż aksjomaty AA i AM nie sa równej wagi. Góruje AM, co na terenie KR jasno widać.
Opcja druga utwierdziła więc nas w przekonaniu o związku Dowodu z racjonalizmem ontologicznym i pokazała jasno rolę aksjomatu AM.
26. Opcja pierwsza wychodząca od stwierdzenia, że AA ® AM: (a ® La) ® Ma doprowadzi nas do konsekwencji zgoła bulwersującej. Popatrzmy sami.
26.1 Rozważana implikacja, po zgeneralizowaniu, daje formułę
(AAM) (A ® LA) ® MA.
Ta zaś, na terenie logik kongruencyjnych równoważna jest koniunkcji dwu formuł
(L-) LA ® ¬A oraz
(D) LA ® MA.
Pokazuje to krótki rachunek, w którym kroki dowodowe są odwracalne:
(i) (A ® LA) ® MA
(ii) L¬A ® A٬LA KRZ, aks.(A)
(iii) L¬A ® A KRZ
L¬A ® ¬LA
(iv) LA ® ¬A KRZ, RE
LA ® MA
Zarówno (L-), jak i (D) są dobrze znane: (L-) to aksjomat wyznaczający negatywne logiki modalne (por. [5], §20), (D) zaś to dobrze znany warunek Arystotelesa mówiący, iż to, co konieczne jest też możliwe.
Tak więc logiką sprzężoną z implikacją AA ® AM jest logika kongruencyjna
L-D := Ce(L-,D), gdzie Ce jest konsekwencją opartą o Klasyczny Rachunek Zdań KRZ i Regułę Ekstensjonalności RE.
26.2 Ustalając jej miejsce w kracie logik modalnych mamy, że
(22) Ce(AAM) = Ce(L-,D) =: L-D
(23) L-D jest podlogiką logiki FN := FALSÇNEG: L-DŁFN, a fortiori jest ona podlogiką właściwą dwu logik kluczowych FALS oraz NEG: L-D<FALS, L-D<NEG
gdzie FALS := Ce(¬LA) = Ce(MA), NEG := Ce(LA«¬A) są dwiema logikami kluczowymi związanymi z z logikami negatywnymi w sposób podobny do sprzężenia TR i VER z logikami pozytywnymi (por. [5], §20).
Logika L-D jest w istocie bardzo ściśle związana z rachunkiem Kartezjusza FALS. Jeśli zamiast Ce wziąść silniejszą od niej konsekwencję monotoniczną Cm (która jest oparta o KRZ i RM), to monotoniczna wersja logiki L-D pokryje się z FALS:
(24) Cm(L-,D) = Cm(AAM) = FALS.
Dla dowodu zauważmy najpierw, że RM oraz zakładane stale związki Arystotelesa (A) pozwalają udowodnić, że D ® M_, czyli (LA ® MA) ® M_:
(i) L(A٬A) ® LAŮL¬A KRZ, RM
(ii) (LA ® MA) ® M(A ® A) KRZ, A, RE
(iii) (LA ® MA) ® M_ KRZ, RE
Czyli na gruncie Cm(D) dowiedlne jest M_.
Z drugiej strony, przez (L-) mamy, iż dowiedlne jest M_:
(i) LA ® ¬A (L-)
(ii) A ® M¬A KRZ, A
(iii) _ ® M^ podst. w (ii), RE
(iv) M^
Zbierając razem: M_, M^ Î Cm(L-,D).
Z kolei, przez proste zastosowanie RM do twierdzeń KRZ mamy, że następujące formuły są twierdzeniami wszystkich logik monotonicznych: M^ ® MA, MA ® M_.
Stąd na terenie Cm(L-,D) twierdzeniem, dla każdego A, jest MA. Oznacza to, że Cm(L-,D) = FALS, qed.
26.3 AH – teoria L-DAH jest, podobnie jak jej pozytywne siostrzyce rozważane uprzednio, niesprzeczna:
(25) L-DAH jest niesprzeczna.
Dowód prowadzimy analogicznie do części pierwszej dowodu (20). Tym razem jednak zdanie a interpretujemy jako fałszywe, tzn. bierzemy interpretację i taką, że i(a) := ^.
Przy tej interpretacji, i(a®La) = ^®L^ « _ oraz i(Ma) = M^. Azali zarówno _, jak i M^ są twierdzeniami rachunku Kartezjusza FALS: _, M^ Î FALS.
Z drugiej strony, i(L-D)ÍL-DÍFALS. Stąd i(L-DAH)ÍFALS, czyli L-DAH jest niesprzeczna, qed.
26.4 Idąc dalej zauważmy, że przy wykorzystaniu symetrii opisanych w [5] uzyskać można w naszym przypadku pełny analogon (20).
W tym celu przypomnijmy, że Q jest logiką antynormalną, gdy domknięta jest na negatywny analogon reguły Gödla: RG- ¬A / LA
Zauważmy, że logikę antynormalną jest NEG i wiele jej podlogik, system FALS nie jest zaś ani normalny ani antynormalny.
Powtarzajac, mutatis mutandis, rozumowanie, które prowadziło do (20) otrzymujemy
(26) Jeżeli Q jest antynormalną podlogiką NEG, to QAH jest niesprzeczna wtw a jest falsyfikowalny.
Widzimy, że sytuacja poprzednia – z §21 -zaiste jakby odbiła się w zwierciadle, w którym prawda przechodzi w fałsz, asercja zdania zaś w asercję jego negacji.
26.5 Tym razem rozwijanie QAH w przypadku spełniającym minimum metalogiczne nakładane na teorie prowadzi do wniosku, że a jest falsyfikowalne, a przy pewnym rozumieniu wręcz fałszywe.
Nie dzieje się tak bez powodu. Aksjomaty L- oraz AA wzięte razem pozwalają wydedukować ¬a: L-, AA _ ¬a.
Pokazuje to poniższy, łatwy rachunek:
(i) LA ® ¬A aks. L-
(ii) La ® ¬a podst. (i)
(iii) a ® La AA
(iv) a ® ¬a KRZ: ii, iii
(v) ¬a KRZ
W ten sposób otrzymaliśmy
(28) Jeżeli Q _ L-, to QAH _ ¬a
W szczególności
(29) L-DAH _ ¬a
26.6 Przypomnijmy jednak, że L- otrzymano z rozważenia implikacji AA ® AM przez zgeneralizowanie wynikłej szczegółowej implikacji implicite L¬a ® a do implikacji L¬A ® A, która przez RE daje L-: LA ® ¬A.
Jeśli krok ten dopuścimy (czego nie radzę – generalizacja ta wydaje się bowiem mocno przesadzona), to w sposób naturalny – poprzez rozważenie stosunku między AA i AM – otrzymamy takie AH – teorie, w których aksjomaty prowadzą do twierdzenia ateistycznego, że byt najdoskonalszy nie istnieje.
27. Pokazuje to, jak bardzo wybór logiki podstawowej jest ważny dla dowodu ontologicznego.
Wnioski
28. Dwie są podstawowe lekcje z analizy metalogicznej.
Primo, dowód ontologiczny wymaga zasadnego i ostrożnego wyboru logiki podstawowej.
Secundo, jądrem Dowodu jest dowód Lematu Leibniza mówiącego o tym, że byt najdoskonalszy jest możliwy.
29. Z poprzedniej analizy logicznej wynika zaś, że w klasie normalnych podlogik TR właściwych dla przeprowadzenia dowodu ontologicznego są przynajmniej trzy drogi jego realizacji i wiele logik pozwalających na rozwinięcie zasadnych AH – teorii.
30. Dodajmy, że wbrew przyjętemu – teofilozoficznemu – sposobowi odczytywania zdania a rozważane AH – teorie tylko pośrednio dotyczą problematyki Boga. Przedstawione wyżej wyniki obowiązują dla każdego sposobu rozumienia a, który pozwala na uznanie AH – aksjomatów: AA oraz AM.
Czy aksjomaty te obowiązują dla Boga, to znaczy czy jest tak, że koniecznym jest, że Bóg istnieje, o ile istnieje oraz, że możliwym jest, że Bóg istnieje jest tematem merytorycznego sporu w teofilozofii.
AH – teorie swym znaczeniem wykraczają poza teofilozofię. Każde ich twierdzenie i metatwierdzenie pozostaje w mocy dla tych wszystkich obiektów x i tych ich własności a, że koniecznym jest, że obiekt x posiada własność a, o ile tylko obiekt ten ją posiada (AA) oraz możliwym jest, że obiekt x posiada własność a (AM).
Rozważmy, na przykład, obiekty matematyczne. Jak twierdzą platoniści, jako obiekty idealne istnieją one koniecznie, oraz są możliwe, bo niesprzeczne. Obowiązuje więc dla nich La, a fortiori a ® La, oraz Ma, czyli AA i AM. W stosownych AH – teoriach będziemy więc mieli, że a, czyli, że obiekty matematyczne istnieją.
31. Jest zupełnie nie byle jakim pytaniem: dla których obiektów x i dla jakich własności a zachodzą AH – aksjomaty?, czyli pytanie o zasięg AH – teorii.
32. W każdym razie wykracza on znacznie poza teren teologii. Obecne uwikłanie teologiczne AH – teorii jest skutkiem preferowanej interpretacji, sposobu odczytywania stwierdzeń, nie zaś zawartości tych teorii czy też ich logiki.
33. Nauką końcową jest to, że badania AH – teorii nie należy mylić z samym dowodem ontologicznym.
Rozumowanie Anzelma – Hartshorne’a jest tylko fragmentem Dowodu i to wcale nie najważniejszym.
Podstawowe bowiem jest uzasadnienie Lematu Leibniza, czyli – w ramach AH -teorii – aksjomatu AM.
Przypisy:
[1] . Niniejsze wariacje na tematy z The Logic of Perfection Ch. Hartshorne’a przygotowane zosta³y w ramach PB KBN 1 H01A 019 09.
[2] . Zob. Leibniz [4] oraz Perzanowski [6] i [7].
[3] . Napis Q[X] oznacza aksjomatyczne wznocnienie systemu Q o zbiór aksjomatów X.
[4] . Dla opisu jej w³asnoœci oraz skojarzonych z ni¹ logik modalnych zob. siostrzan¹ pracê [8].
Literatura
[1] Anzelm z Canterbury, Monologion – Proslogion (tł. T. Włodarczyk), BKF, PWN, Warszawa 1992, s. 296
[2] Chellas B., Modal Logic. An Introduction, CUP, Cambridge, 1980, s.295
[3] Hartshorne Ch., The Logic of Perfection, Open Court, La Salle, 1962. Wyd. IV 1991, s. 335
[4] Leibniz G. W., Pisma z teologii mistycznej (tł. M. Frankiewicz), Znak, Kraków 1994, s. 379
[5] Perzanowski J., Logiki modalne a filozofia. W: Perzanowski J. red., Jak
filozofować?, PWN, Warszawa 1989, 282 – 346
[6] Perzanowski J., Ontological Arguments II: Cartesian and Leibnizian. W:
H. Burkhardt i B. Smith, eds. Handbook of Metaphysics and Philosophy
Philosophia Verlag, München 1991, 625 – 633
[7] Perzanowski J., Teofilozofia Leibniza. W [4], 243 – 351
[8] Perzanowski J., O modalnej logice parasymetryczności KP i jej kuzynkach
[9] Purtill R. A., Hartshorne’s Modal Proof, The Journal of Philosophy, 63(1966), 397 – 409
Jerzy Perzanowski
Zakład Filozofii Logicznej i Kognitywistyki
Instytut Filozofii UJ
& Katedra Logiki Ignatianum
e-mail: j.perzanowski@iphils.uj.edu.pl
