Z genezy programu Hilberta
Jerzy Perzanowski
Dawid Hilbert sformułował po raz pierwszy swój program badań nad podstawami matematyki w pracach z lat 1899 i 1900.1 W następny latach Hilbert wielokrotnie modyfikował oryginalne sformułowania swego programu 2 czyniąc go mniej rygorystycznym i dopuszczając w metamatematyce coraz silniejsze środki dowodowe.
W głównych punktach swego programu 3 Hilbert postulował budowę teorii sformalizowanej obejmującej całą matematykę klasyczną oraz przeprowadzenie dowodów niesprzeczności. zupełności i rozstrzygalności tej teorii. Program Hilberta w swym pierwotnym wysłowieniu okazał się niewykonalny, wywarł jednak wielki wpływ na rozwój metamatematyki.
O ile zawarte w programie Hilberta postulaty dowodów niesprzeczności i zupełności klasycznych teorii matematycznych wydają się być jedynak wyraźnym wysłowieniem popularnych w XIX w. przekonań metodologicznych, to postawienie Problemu Rozstrzygalności jest samodzielnym, nieprzygotowanym przez innych autorów osiągnięciem Hilberta. Omówię tu wyniki Hilberta 4 z badań nad teorią niezmienników, które, jak się zdaje, podsunęły Hilbertowi idee postawienia Zagadnienia Rozstrzygalności.
Problem rozstrzygalności w oryginalnym sformułowaniu Hilberta to kwestia ustalenia kryteriów, które pozwoliłyby w skończonej ilości kroków sprawdzić, czy dana formuła Węższego Rachunku Predykatów jest czy nie jest dowiedlna na terenie tego rachunku. W 1936 r. negatywne rozwiązanie tego problemu podał A. Church. 5 Genetycznie wcześniejsze było jednak stawianie Zagadnienia Rozstrzygalności w odniesieniu do różnych swoistych teorii matematycznych, np. arytmetyki liczb naturalnych, czy geometrii euklidesowej. Dopiero pochodzące od Fregego i Hilberta sprowadzenie środków dowodowych wszystkich teorii matematycznych wyłącznie do środków dostarczonych przez rachunki logiczne pozwoliło postawić jeden generalny Problem Rozstrzygalności zamiast całej rodziny takich problemów.
W pracy z 1890 r. 6 D. Hilbert wykazał dwa ważne twierdzenia, którymi zamknął niejako rozwój teorii niezmienników. Rolę niezmienników w geometrii odkryto przy okazji badań nad geometrią rzutową. Zwrócono wtedy uwagę na to, iż z matematycznego punktu widzenia interesujące są wyłącznie te własności tworów geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach wziętych z pewnej ustalonej grupy transformacji algebraicznych. Według F. Kleina geometria to teoria inwariantów odpowiednich grup transformacji. W omawianej pracy Hilbert zajął się kwestią, jakie wzajemne stosunki zachodzić mogą między niezmiennikami pewnej, ustalonej grupy transformacji.
I twierdzenie Hilberta głosi, że w każdym ustalonym układzie niezmienników istnieje skończona ilość niezmienników podstawowych generujących (jako wielomian od niezmienników) wszystkie niezmienniki; zaś twierdzenie II mówi. że jest tylko skończona ilość liniowo niezależnych związków algebraicznych między niezmiennikami podstawowymi. Twierdzenia te Hilbert ustalił dla geometrii euklidesowej i wszystkich geometrii ogólniejszych i udowodnił je w sposób efektywny.
Jeżeli każdy niezmiennik wyznacza wzajem jednoznacznie pewną własność tworów geometrycznych, a związek algebraiczny między niezmiennikami wyznacza relację między tymi własnościami, to z twierdzeń Hilberta płynie wniosek, że jest tylko skończona ilość „istotnie ciekawych” tworów i związków geometrycznych. Mógł więc Hilbert sądzić iż w odniesieniu do teorii geometrycznych istnieć powinna efektywna metoda ustalenia, czy dana wypowiedź opisuje jakąś własność tworów geometrycznych, czy jakiś związek między nimi, a więc czy jest przy założeniu pełności danej teorii jej twierdzeniem. Wiemy, iż w odniesieniu do geometrii intuicja nie zmyliła całkowicie Hilberta, wykazano bowiem np. rozstrzygalność elementarnej geometrii euklidesowej. 7
Zauważmy, iż w metamatematyce dotychczas nie wyzyskano szerzej sugerowanej przez przedstawione wyżej wyniki Hilberta metody, która pozwalałaby wnosić o własnościach teorii sformalizowanych z faktu, iż teorie te opisują dziedziny w których istotną jest wyłącznie skończona ilość obiektów i związków między nimi.
Przypisy:
1 Hilbert D., Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, oraz tenże: Mathematische Probleme, Nach. Akad. Wiss. Goettingen 1900, s.253-297, oraz tenże: Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik, Verhandlungen der Dritten Internationalen Mathematiker p Kongresses in Heidelberg, Leipzig, 1905.
2 Hilbert D., Über das Unendliche, Math. Ann. 95, 1926, oraz Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, t. I 1934, t. II 1939.
3 Kreisel G. Hilbert’s Programme, Dialectica 12, 1958.
4 Hilbert D., Über die Theorie der algebraischen Formen. Math. Ann., Bd. 36 (1890), s.473-534.
5 Church A., A note on the Entscheidungsproblem. JSL, vol. 1, 1936.
6 Hilbert D., Über die Theorie der algebraischen Formen, wyd. cyt.
7 Tarski A., A decision method for elementary algebra and geometry. Berkeley 1951.
Jerzy Perzanowski
