Filozofia Nauki

Matematyka jako element historii myśli

Matematyka jako element w historii myśli

Nauka i świat nowożytny

Alfred N. Whitehead

Narodziny nowożytnej nauki w wieku XVII wymagały nowej matematyki, lepiej przygotowanej do analizy cech istnienia drganiowego. A teraz, w wieku XX stwierdzamy, że fizycy zajmują się głównie analizami okresowości atomów. Istotnie, kiedy Pitagoras kładł podwaliny pod europejską filozofię oraz matematykę, wyposażył jen w nader fortunny domysł… a może był to przebłysk boskiego geniuszu, przenikającego najgłębsza naturę rzeczy?

Rozdział II

Czysta matematyka w jej dzisiejszym kształcie pretendować może do roli najbardziej oryginalnego wśród tworów ludzkiego ducha. Drugim pretendentem może być muzyka. Pomińmy jednak wszystkich innych konkurentów i zastanówmy się nad racjami, które dopuszczają tego rodzaju roszczenia w stosunku do matematyki. Oryginalność jej polega na tym, że w naukach matematycznych ujawniane są stosunki pomiędzy rzeczami będące skrajnie – jeśli abstrahować od działalności rozumu ludzkiego – nieoczywiste. Koncepcje rodzące się w umysłach współczesnych nam matematyków są bowiem niezwykle odległe od jakichkolwiek pojęć wywodzących się z bezpośredniej percepcji zmysłowej; chyba, że to percepcja, dla której bodźcem i przewodnikiem jest uprzednia wiedza matematyczna. Tę tezę chciałbym tu zilustrować.<

Cofnijmy się wyobraźnią o kilka stuleci i spróbujemy sobie wyobrazić prostotę intelektualną największych nawet umysłów owych wczesnych społeczeństw. Idee abstrakcyjne, dla nas całkowicie oczywiste, dla nich stanowić musiały sprawy pojmowane w sposób nader mglisty. Weźmy dla przykładu sprawę liczb. Gdy myślimy o liczbie "pięć", wiemy, że odnosi się ona do stosownej grupy jakichkolwiek przedmiotów: pięciu ryb, pięciorga dzieci, pięciu jabłek, pięciu dni. A zatem rozważając stosunek między liczb pięć i liczba trzy, myślimy o dwu grupach rzeczy, jednej składającej się z pięciu, drugiej z trzech elementów. Całkowicie jednak abstrahujemy od określonych przedmiotów, czy określonych typów przedmiotów mających wejść w skład każdej z tych dwu grup. Myślimy wyłącznie o takim stosunku między tymi dwoma grupami, który jest całkowicie niezależny od indywidualnych własności jakichkolwiek elementów każdej z tych grup. Jest to wielkie osiągniecie abstrakcji i stulecia minąć musiały, nim ludzkość dorosła do niego. Przez bardzo długi czas grupy ryb były pod względem ilości porównywane z grupami ryb, a grupy dni z grupami dni. Pierwszy człowiek, który zauważył analogię między grupa siedmiu ryb, a grupy siedmiu dni, dokonał istotnego postępu w historii myśli. Był to pierwszy człowiek rozważający pojecie z dziedziny czystej matematyki. W tym momencie nie był on absolutnie w stanie domyślić się złożoności i subtelności abstrakcyjnych problemów matematycznych czekających na odkrycie. Nie mógł on również przewidzieć, że pojęcia te stanowić będą fascynacje w szerokim zasięgu w każdym kolejnym pokoleniu.

Istnieje błędna tradycja literacka, która umiłowanie matematyki uważa za obsesję ekscentryków, nielicznych w każdym pokoleniu. Lecz nawet gdyby tak było, nie sposób było przewidzieć przyjemności, jaką czerpać można z tego rodzaju abstrakcyjnego myślenia, które w społeczeństwie ówczesnym nie miało odpowiednika. Tym bardziej więc owi wcześni myśliciele nie byli w stanie dojrzeć arcydoniosłych skutków, jakie wiedza matematyczna wywrzeć miała w przyszłości na życie ludzi, ich codzienne zajęcia, nawyki myślowe, na organizację społeczeństwa. Nawet obecnie zrozumienie rzeczywistej pozycji matematyki jako elementu w historii myśli jest dość słabo ugruntowane.

Nie posuwam się tak daleko, by twierdzić, że budowanie historii myśli bez dogłębnego studium istniejących w kolejnych epokach koncepcji matematycznych to pominięcie postaci Hamleta z rozważań nad sztuką pot tym tytułem. To byłoby może zbyt wiele. Na pewno jednak czymś podobnym byłoby skreślenie roli Ofelii. To podobieństwo jest szczególnie trafne. Ofelia jest w tej sztuce niezbędna. Jest urocza i …trochę zwariowana. Możemy przyjąć, że wieczne dążenie do osiągnięć w dziedzinie matematyki to boskie szaleństwo ludzkiego ducha, to schronienie przed natarczywymi wymogami przygodnych wydarzeń.

Mówiąc "matematyka" mamy na myśli naukę poświęconą badaniom nad liczbą, ilością, geometrią, a w czasach nowszych obejmującą również badania nad bardziej jeszcze abstrakcyjnymi pojęciami porządku i podobnymi rodzajami czysto logicznych relacji. Osobliwością matematyki jest jej całkowite uwolnienie d od jednostkowych przypadków, a nawet od jakichkolwiek poszczególnych gatunków przedmiotu. Tak więc żadne matematyczne prawdy nie stosują się na przykład wyłącznie do ryb, wyłącznie do kamieni czy wyłącznie do kolorów. Zajmując się czystą matematyką jesteśmy w królestwie całkowitej, bezwzględnej abstrakcji. Twierdzimy wtedy tylko tyle: rozum zaleca przyjąć, że jeśli relacje spełniające takie-to-a-takie ściśle abstrakcyjne warunki, to muszą pomiędzy nimi zachodzić także i inne relacje spełniające inne, również ściśle abstrakcyjne warunki.

Matematyka to myśl poruszająca się w sferze całkowitej abstrakcji od wszelkich jednostkowych przypadków tego, o czym opowiada. Ten pogląd na matematykę tak jest daleki od oczywistości, ze nie trudno dostrzec, iż nawet dziś nie zawsze jest ona powszechnie rozumiana. Powszechnie sądzi się na przykład, że pewność matematyki stanowi wystarczającą podstawę do przyjęcia prawdziwości naszej wiedzy geometrycznej o przestrzeni fizycznego świata. Jest to złudzenie, które wypaczyło wiele filozofii przeszłości, a także i niektóre filozofie dzisiaj. Sprawa geometrii to ważny probierze o sporej dozie aktualności. Istnieją pewne alternatywne zbiory ściśle abstrakcyjnych warunków, mogące określać stosunki między grupami dowolnych bytów, które nazywał będę w a r u n k a m i g e o m e t r y c z n y m i. Nadaję im taką nazwę z uwagi na zasadniczą analogię pomiędzy nimi a tymi warunkami, które – jak sądzę – spełniane są przez poszczególne relacje geometryczne między rzeczami obserwowanymi przez nas w procesie bezpośredniej percepcji przyrody. Jak długo w grę wchodzą nasze obserwacje, to nie jesteśmy dość dokładni, by mięć pewność co do ścisłych zasad rządzących rzeczami, z którymi spotykamy się w przyrodzie. Możemy jednak, naciągając nieco hipotezę, zidentyfikować te zaobserwowane prawidłowości z jakimś zespołem ściśle abstrakcyjnych warunków geometrycznych.

Czyniąc tak, szczegółowo określamy grupę niezindywidualizowanych bytów stanowiących relata w naukach abstrakcyjnych. W czystej matematyce relacji geometrycznych powiadamy: jeśli w j a k i e j ś grupie przedmiotów zachodzą j a k i e k o l w i e k związki między składnikami tej grupy spełniające d a n y zbiór abstrakcyjnych warunków geometrycznych, to związki te muszą spełniać takie-to-a-takie dodatkowe abstrakcyjne warunki. Gdy z kolei weźmiemy przestrzeń fizyczną, stwierdzamy, że w pewnej dokładnie zbadanej grupie bytów fizycznych zachodzą dokładnie zbadane związki pomiędzy jej elementami, wypełniające wspomniany powyżej zbiór abstrakcyjnych warunków geometrycznych. Wnioskujemy przeto, iż dodatkowe relacje, co do których stwierdziliśmy, że mają miejsce w każdym takim przypadku, muszą mieć miejsce w tym szczególnym przypadku.

Pewność matematyki opiera się na jej całkowitej abstrakcyjnej ogólności. Jednak nie możemy mieć pewności a priori, że mamy słuszność wierząc, iż przedmioty zaobserwowane w konkretnym wszechświecie stanowią szczegółowy przypadek podpadający pod nasze ogólne rozumowanie. Weźmy inny przykład z arytmetyki. Istnieje ogólna teza czystej matematyki, że każda grupa czterdziestu przedmiotów da się podzielić na dwie grupy po dwadzieścia przedmiotów. Możemy więc zasadnie wnioskować, że określona grupa jabłek, która, jak przypuszczamy, zawiera czterdzieści sztuk, da się podzielić na dwie grupy po dwadzieścia jabłek każda. Zawsze jednak istnieje możliwość, że źle policzyliśmy dużą grupę; gdy więc dochodzi do praktycznego podziału, może się okazać, że w jednej z grup jest o jedno jabłko za dużo lub za mało.

Krytykując zatem wywód oparty na zastosowaniu matematyki do jakichś rzeczywistych faktów musimy zawsze rozgraniczyć trzy różne procedury. Po pierwsze, musimy sprawdzić czysto matematyczne rozumowanie, by upewnić się, czy nie ma w nim jakichś potknięć, przypadkowych odstępstw od logiki spowodowanych błędem myślenia. Każdy matematyk wie z gorzkiego doświadczenia, że rozpoczynając ciąg rozumowania łatwo popełnić drobny błąd, który całkowicie zmienia rezultat. Kiedy jednak rozumowanie matematyczne zostało przejrzane, a także przedstawione kompetentnemu światu, możliwość przypadkowego błędu można w zasadzie pominąć. Proces drugi to całkowite upewnienie się co do wszystkich abstrakcyjnych warunków, których istnienie zakładamy. Jest to determinacja abstrakcyjnych przesłanek, z których wywodzi się rozumowanie matematyczne. Jest to sprawa niezmiernie trudna. W przeszłości popełniono tu niejedno znaczne przeoczenie zaakceptowane przez pokolenia wybitnych matematyków. Główne niebezpieczeństwo , to przeoczenie – a ściślej mówiąc – milczące wprowadzenie do rozumowania założeń, które uważamy za naturalne, a które w rzeczywistości nie zawsze obowiązują. Istnieje tu również inne, przeciwstawne przeoczenie, które nie prowadzi do błędu a jedynie do braku prostoty. Łatwo wyobrazić sobie można, iż potrzeba więcej warunków, niż to faktycznie ma miejsce. Innymi słowy, możemy myśleć, że jakieś abstrakcyjne założenie jest niezbędne, gdy tymczasem może być ono udowodnione przy pomocy innych, już uczynionych założeń. Jedynym rezultatem takiego nadmiaru abstrakcyjnych postulatów jest zmniejszenie satysfakcji estetycznej, jaką dać może rozumowanie matematyczne, a także przysporzenie kłopotu, gdy przystępujemy do trzeciego procesu krytyki.

Ów trzeci proces to sprawdzanie, czy dany przypadek podlega naszym abstrakcyjnym założeniom. Z tego to właśnie procesu weryfikacji założeń w odniesieniu do poszczególnego przypadku wywodzi się cała trudność. W pewnych prostych przypadkach, takich jak przeliczanie czterdziestu jabłek, za pomocą pewnej dokładności osiągnąć możemy praktyczną pewność. Lecz na ogół, w przypadkach bardziej skomplikowanych, pewność taka jest nieosiągalna.

Tomy, biblioteki tomów napisano na ten temat. Temat ten to pole bitwy spierających się filozofów. W grę wchodzą tu dwie, odrębne od siebie kwestie. Istnieją poszczególne, określone, dające się obserwować rzeczy i musimy upewnić się, czy relacje między tymi rzeczami spełniają pewne określone, szczegółowe warunki abstrakcyjne. Kryje się tu wielka możliwość błędu. Wszelkie ściśle obserwacyjne metody naukowe służą ograniczaniu tego rodzaju błędnych wniosków w odniesieniu do tego, co dane jest bezpośrednio. Jednak rodzi się tu problem następny. Rzeczy obserwowane wprost nieomal zawsze stanowią jedynie przykłady. My zaś chcemy stwierdzić, że abstrakcyjne warunki, które dotyczyły przykładów, dotyczą również wszystkich innych bytów, które z tego czy innego powodu wydają się przynależeć do tego samego rodzaju.

Taki proces rozumowania, od próbki do całego gatunku, to indukcja. Teoria indukcji to przekleństwo filozofii, niemniej cała nasza działalność opiera się właśnie na niej. Jakkolwiek rzeczy się mają, w krytyce matematycznych stwierdzeń stosowanych do konkretnej sprawy rzeczywista trudność polega na odnalezieniu użytych założeń abstrakcyjnych i na ocenie argumentów na rzecz ich zastosowania w tym właśnie konkretnym przypadku.

Często zdarza się przeto, że krytykując naukową książkę czy rozprawę z zakresu matematyki stosowanej, wszystkie trudności znajdujemy w pierwszym rozdziale, a nawet na pierwszej stronie. Właśnie bowiem na samym początku najbardziej prawdopodobne jest przyłapanie autora na błędzie w założeniach. Dalej kłopot jest nie z tym, co autor mówi, lecz z tym, czego nie mówi. Nie idzie też o założenia, o których autor wie, lecz o założenia czynione nieświadomie. Nie wątpimy w uczciwość autora, krytykujemy jedynie przenikliwość jego umysłu. Każde nowe pokolenie krytykuje nieświadome założenia swych rodziców. Może się z nimi zgadzać, tym niemniej ujawnia je.

Zilustrować to można na przykładzie historii rozwoju języka. Jest to historia stopniowej analizy idei. Greka i łacina były językami fleksyjnymi. Oznacza to, że w językach tych można było wyrazić niezanalizowane kompleksy pojęć za pomocą jedynie zmiany w wyrazie, podczas gdy w angielskim, by wydobyć na światło dzienne kompleksy myśli zawarte w zdaniu, używać musimy przyimków, przysłówków i czasowników posiłkowych. W pewnych formach literackich , choć nie zawsze, takie zamknięcie pojęć pomocniczych w jednym słowie może przynosić korzyść, jednak język taki jak angielski zyskuje na jasności wyrazu. Taki wzrost wyrazistości języka to pełniejsza prezentacja różnorodnych abstrakcji zawartych w złożonej myśli stanowiącej znaczenie zdania.

Dzięki porównaniu z językiem zrozumieć można rolę czystej matematyki w myśleniu. Jest to śmiała próba pójścia do końca w takim przeprowadzeniu całościowej analizy, by elementy faktyczne oddzielić od czysto abstrakcyjnych warunków, które one egzemplifikują.

Nawyk takiej analizy rozjaśnia każdy akt działania ludzkiego umysłu. Najpierw (poprzez wyizolowanie) kładzie on nacisk na bezpośrednią ocenę estetyczną treści doświadczenia. Ta bezpośrednia ocena, to zrozumienie, czym doświadczenie jest samo w sobie, w swej własnej, jednostkowej istocie wraz ze swymi bezpośrednimi, konkretnymi wartościami. Chodzi tu o doświadczenie bezpośrednie, zależne prawdopodobieństwo wyczulenia naszych zmysłów. Następnie przychodzi kolej na wyabstrahowanie poszczególnych bytów, postrzeganych samych w sobie, niezależnie od tego szczególnego zaistnienia doświadczenia, w którym je pojmujemy. Na koniec przychodzi do zrozumienia absolutnie ogólnych warunków, spełnianych przez poszczególne relacje pomiędzy takimi bytami, tak jak w tym doświadczeniu. Warunki takie zyskują walor ogólności przez to, że dają się one wyrazić bez sprowadzania ich do konkretnych zależności, czy do tych poszczególnych relata, które zachodzą w tym poszczególnym zaistnieniu doświadczenia. Są to warunki, które obowiązywałyby w nieokreślonej różnorodności innych zaistnień, w których występować będą inne byty w innych układach. Tak więc warunki te osiągają walor pełnej ogólności, gdyż nie odnoszą się do żadnych poszczególnych zaistnień, ani do żadnych poszczególnych bytów, takich jak zieleń, błękit czy drzewa, występujących w wielu różnorodnych zaistnieniach, ani też do żadnych poszczególnych związków pomiędzy tymi bytami.

Ogólność matematyki podlega jednak także pewnym ograniczeniom; jest to zastrzeżenie odnoszące się do wszystkich stwierdzeń ogólnych. Na temat jakiegoś odległego zaistnienia, które w stosunku do zaistnienia bezpośrednio danego nie pozostaje w żadnym takim związku, by stanowić element konstytutywny istoty tego ostatniego, nie można uczynić żadnego stwierdzenia, wyjąwszy jedno. (Przez „zaistnienie dane bezpośrednio” (immediate occasion) rozumiem zaistnienie, które zawiera jako część składową indywidualny akt osądu). Owo jedno stwierdzenie brzmi następująco: Niewiedza co do istoty tego, co nie wchodzi w żadne relacje, jednak całkowita. Przez niewiedzę rozumiem rzeczywistą niewiedzę, w wyniku której nie można sformułować żadnej rady co do tego, w jaki sposób spodziewać się owego przypadku, jak go traktować „w praktyce” czy pod jakimkolwiek innym względem. Tak więc o jakimś odległym zaistnieniu uzyskujemy wiedzę dzięki poznaniu, które wchodzi w skład zaistnienia danego nam bezpośrednio, albo też nie wiemy o nim w ogóle nic. A zatem cały wszechświat otwarty na wszelkiego rodzaju doświadczenia, to wszechświat, w którym każdy szczegół wchodzi we właściwe sobie relacje z zaistnieniem danym bezpośrednio. Ogólność matematyki to ogólność najbardziej pełna, zgodna z całą wspólnotą zaistnień składających się na naszą sytuację metafizyczną.

Należy zaznaczyć, że poszczególne byty wymagają owych ogólnych warunków, by mogłyby wejść w skład jakiegokolwiek zaistnienia; ale te same warunki ogólne mogą służyć wielu typom poszczególnych bytów. Ten właśnie fakt, że warunki ogólne stoją ponad jakimkolwiek zbiorem poszczególnych bytów, stanowi podstawę dla wprowadzenia do matematyki i logiki matematycznej pojęcia „zmiennej”. Używając tego właśnie pojęcia badamy warunki ogólne nie wyszczególniając poszczególnych bytów. Ta nieprzystawalność poszczególnych bytów nie była powszechnie rozumiana: na przykład „kształtowość” kształtów, np. kulistość, kolistość, sześcienność – takie jak w aktualnym doświadczeniu – nie wchodzą w skład rozumowania geometrycznego.

Użycie logicznego umysłu odnosi się zawsze do tych absolutnie ogólnych warunków. W najszerszym znaczeniu odkrycie matematyki, to odkrycie, że całość tych ogólnych abstrakcyjnych warunków, dających się zgodnie stosować do relacji między bytami w każdym konkretnym zaistnieniu, jest również sama w sobie spójna, stanowiąc niejako strukturę, do której istnieje klucz. Ta struktura relacji pomiędzy ogólnymi warunkami abstrakcyjnymi narzuca się zarówno jeśli idzie o rzeczywistość zewnętrzną, jak i o nasze o niej abstrakcyjne wyobrażenia, a to z uwagi na ogólną konieczność, iż każda rzecz musi po prostu być sobą samą i we własny, indywidualny sposób różnić się od wszystkiego innego. Jest to właśnie potrzeba abstrakcyjnej logiki, która jest założona w samym fakcie „istnienia w związkach wzajemnych” (interrelated existence), objawiających się w każdym danym bezpośrednio zaistnieniu doświadczenia.

Klucz do owych struktur to fakt, że z wybranego zbioru warunkow ogólnych, egzemplifikujących się w dowolnym lecz ustalonym zaistnieniu, przy pomocy czystej abstrakcyjnej logiki zbudować możemy strukturę, zawierającą nieskończoną różnorodność innych podobnych warunków, które egzemplifikować się będą w tym samym zaistnieniu. Każdy taki wybrany zbiór nazywamy zbiorem postulatów lub przesłanek i z nich właśnie wywodzi się dalsze rozumowanie. Rozumowanie, to nic innego, jak tylko ujawnienie się struktury ogólnych warunków zawartych w strukturze wyprowadzonej z wybranych postulatów.

Harmonia logicznego umysłu, który przeczuwa istnienie utajonej w postulatach pełnej struktury, to najbardziej ogólna właściwość estetyczna wynikająca z samego faktu jednoczesnego istnienia w jedności danego zaistnienia. Gdziekolwiek ma miejsce jedność zaistnienia, tam w założeniu już istnieje estetyczny związek pomiędzy ogólnymi warunkami zawartymi w tym zaistnieniu. Ten właśnie związek estetyczny odkrywamy w procesie racjonalnego myślenia. Tym samym dane zaistnienie egzemplifikuje wszystko, cokolwiek relacja ta obejmuje, zaś wszystko, co jest poza tą relacją, jest tym samym z danej egzemplifikacji wyłączone. Pełna struktura tak egzemplifikowanych warunków ogólnych determinowana jest przez każdy spośród wybranych zbiorów tych warunków. Zbiory kluczowe to zbiory równoważnych postulatów. Ta racjonalna harmonia istnienia, niezbędna dla jedności wszelkiego złożonego zaistnienia, wraz z pełnią realizacji (w tym zaistnieniu) wszystkiego, co zawarte w jego logicznej harmonii, to podstawowe prawidło metafizyki. Znaczy to, iż rzeczy, aby istniały wspólnie, muszą istnieć wspólnie w sposób racjonalny. To oznacza, że myśl może przeniknąć każde zaistnienie w ten sposób, że gdy zrozumie warunek kluczowy, cały kompleks struktur warunków tego zaistnienia leży otworem. Tak więc, jeśli założymy, ze wiemy o czymś, co jest w doskonały sposób ogólne w odniesieniu do elementów jakiegokolwiek zaistnienia, oznacza to, że mamy w ten sposób nieskończoną ilość innych, równie ogólnych pojęć, które muszą w nim dojść do głosu. Logiczna harmonia zawarta w jedności poszczególnego zaistnienia jest zarówno wyłączająca jak i włączająca. Zaistnienie musi wyłączać to co nieharmonijne, zawierając zaś to co harmonijne.

Pierwszym człowiekiem mającym ogólne przeczucie całkowitego zasięgu tej powszechnej zasady był Pitagoras, żyjący w szóstym wieku p.n.e. Nasza wiedza o nim jest fragmentaryczna, ale znamy kilka faktów, które zapewniły mu wielkość w historii myśli. Kładł on nacisk w rozumowaniu na stosowanie pojęć jak najbardziej ogólnych, oraz przeczuł doniosłość znaczenia liczby, jako pomocy w konstrukcji każdego pojęcia przedstawiającego warunki przynależne do porządku natury. Wiemy także, że studiował geometrię i odkrył ogólny dowód słynnego twierdzenia dotyczącego trójkątów prostokątnych . Powstanie Bractwa Pitagorejczyków, a także tajemnicze pogłoski o jego obrzędach i wpływach dowodzą, że Pitagoras przeczuł, choć może w sposób mglisty, możliwość znaczenia matematyki w procesie tworzenia nauki. W dziedzinie filozofii zapoczątkował on dysputę żywo poruszającą licznych myślicieli. Postawił on mianowicie pytanie: jaki jest status przedmiotów matematycznych, takich jak np. liczby, w królestwie rzeczy? Na przykład liczba „dwa” jest w pewnym sensie wolna od biegu czasu i konieczności określenia swego miejsca w przestrzeni. Niemniej tkwi w świecie realnym.

Te same rozważania dotyczą pojęć geometrycznych, takich jak np. kształt kolisty. Pitagoras uważał podobno, że byty matematyczne takie jak liczby czy kształty to podstawowe tworzywo, z którego zbudowane są dostępne doświadczeniu zmysłowemu byty realne. Myśl tak śmiało wyrażona wydaje się być prymitywna, a nawet bezsensowna. Bez wątpienia jednak natrafił on na pojęcie filozoficzne o poważnym znaczeniu, pojęcie, które w ciągu długiej swej historii poruszyło umysły ludzkie, a nawet weszło do teologii chrześcijańskiej. Około tysiąca lat dzieli Pitagorasa od wyznania wiary św. Atanazego, a około dwa tysiące czterysta lat od Hegla. Pomimo jednak takiej odległości w czasie, znaczenie określonej liczby w konstytuowaniu natury Boga oraz koncepcja realnego świata jako wyrazu ewolucji idei mogą być odnalezione w tym ciągu myślowym, któremu początek dał Pitagoras.

Znaczenie jakiegoś myśliciela w historii myśli zależy w pewnej mierze od przypadku, zależy bowiem od losów jego idei w umysłach następców. Pod tym względem Pitagoras był szczęśliwy, bowiem jego filozoficzne spekulacje dotarły do nas za pośrednictwem umysłu Platona. Platoński świat idei to zrewidowana, oczyszczona forma pitagorejskiej doktryny zakładającej, że liczba jest podstawą świata realnego. Dzięki greckiej metodzie wyrażania liczb przez układy punktów, pojęcie liczby i konfiguracji geometrycznej były wśród Greków bliższe sobie niż w naszych czasach. Koncepcja Pitagorasa bez wątpienia obejmuje także pojęcia „kształtowatości” kształtu, pojęcie nie należące do dziedziny czystej matematyki. Tak więc dziś, gdy Einstein i jego następcy głoszą, że zjawiska fizyczne takie jak grawitacja mogą być przedstawiane jako uzewnętrznienie lokalnych osobliwości właściwości czasoprzestrzennych, są oni w tym względzie kontynuatorami czysto pitagorejskiej tradycji. W pewnym sensie Platon i Pitagoras bliżsi są współczesnej fizyce niż Arystoteles. Dwaj pierwsi byli matematykami, podczas gdy Arystoteles był synem lekarza, co oczywiście nie oznacza, by był ignorantem w matematyce. Z nauki Pitagorasa wyciągnąć możemy praktyczny wniosek, ze należy mierzyć i w ten sposób wyrażać jakość w kategoriach ilościowo określonych liczbami.

Natomiast nauki biologiczne, tak wówczas jak i dziś, w przeważającej mierze mają charakter klasyfikacyjny. W swej Logice Arystoteles położył nacisk na klasyfikację, i popularność arystotelesowskiej Logiki opóźniła rozwój fizyki w Średniowieczu. Gdybyż uczeni zamiast klasyfikacją zajęli się mierzeniem, o ileż więcej mogliby się nauczyć.

Klasyfikacja pozostaje w pół drogi między bezpośrednią konkretnością jakiejś rzeczy a całkowitą abstrakcją pojęć matematycznych. Gatunki musza być rozważane z punktu widzenia ich cech gatunkowych, rodzaje z punktu widzenia cech rodzajowych. Ale w procesie odnoszenia matematycznych pojęć do zjawisk przyrody poprzez liczenie, pomiary, związki geometryczne i rozróżnianie typów porządku, rozważania myśli wznoszą się od niepełnych abstrakcji zawartych w rodzajach i gatunkach do całkowitych abstrakcji matematyki. Klasyfikowanie jest rzeczą niezbędną. Jednakże rozumowanie niezdolne do przejścia od klasyfikacji do matematyki nie zaprowadziłoby nas daleko.

Między epoką Pitagorasa i Platona a epoką reprezentowaną przez siedemnasty wiek naszej ery minęło blisko dwa tysiące lat. W tym długim okresie matematyka dokonał ogromnego postępu. Geometria poszerzyła się o naukę o przecięciach stożkowych i trygonometrię, teoria granic stanowiła nieomal antycypację rachunku całkowego, a przede wszystkim azjatycka myśl naukowa wniosła swój wkład w postaci arabskiej notacji cyfr i algebry. Postęp poszedł jednak po linii techniki. Matematyka, jako twórczy element w rozwoju filozofii, przez cały ten okres nauki wyzwoliła się ze sutków złożenia jej w ręce Arystotelesa.

Niektóre dawne idee pochodzące z epoki Platona i Pitagorasa przetrwały niejako na uboczu i wpływ ich można dostrzec wśród tych wpływów platońskich, które kształtowały pierwszy okres rozwoju teologii chrześcijańskiej. Niemniej filozofia nie czerpała świeżych natchnień ze stałego postępu wiedzy matematycznej. W siedemnastym wieku wpływ Arystotelesa był najsłabszy i matematyka odzyskała znaczenie, którym cieszyła się w okresie wcześniejszym. Było to stulecie wielkich fizyków i filozofów, a zarówno ci fizycy i filozofowie byli również matematykami. Wyjątek stanowi tu John Locie, choć w znacznym stopniu pozostawał on pod wpływem koła zwolenników Newtona z Royal Society. W epoce Galileusza, Kartezjusza, Spinozy, Newtona, Leibniza matematyka miała ogromny wpływ na powstające w tym czasie idee filozoficzne. Matematyka, która w tym okresie wybiła się na pierwsze miejsce, była jednak całkiem odmienną nauką od matematyki z okresu wcześniejszego. Stała się bardziej ogólna i rozpoczęła nieomal niewiarygodną karierę w spiętrzaniu subtelnych odcieni uogólnień, zwłaszcza że przy każdej coraz to większej zawiłości znajdowała nowe zastosowania bądź w fizyce, bądź w myśli filozoficznej.

Arabska notacja cyfr wyposażyła matematykę w techniczne nieomal doskonałe narzędzie operowania liczbami. Uwolnienie się od zmagań ze szczegółami arytmetycznymi (co miało miejsce na przykład w arytmetyce egipskiej 1600 lat przed naszą erą) umożliwiło rozwój przewidziany częściowo przez matematykę grecką późniejszego okresu. Na scenie pojawia się algebra, a algebra to uogólnienie arytmetyki. Podobnie jak pojęcie liczby jest abstrakcją od związków z jakimkolwiek poszczególnym zbiorem bytów, w algebrze abstrahuje się od pojęcia poszczególnych liczb. Podobnie jak liczba „pięć” odnosi się bez różnicy do każdej grupy pięciu przedmiotów, litery w algebrze odnoszą się bez różnicy do każdej liczby, z tym tylko zastrzeżeniem, że każda litera musi stale odnosić się do tej samej liczby poprzez cały kontekst, w którym została użyta.

Najpierw zastosowano to do równań, które są sposobem zadawania skomplikowanych pytań arytmetycznych. W związku z tym litery oznaczające liczby nazwano “niewiadomymi”. Ale równania wkrótce nasunęły nową myśl, mianowicie myśl o funkcji dwóch lub więcej symboli ogólnych, które to symbole były literami oznaczającymi dowolne liczby. W tym kontekście litery algebraiczne nazywamy argumentami funkcji, a czasem “zmiennymi”. Na przykład, jeśli kąt jest oznaczany literą algebraiczną, reprezentującą wartość numeryczną wyrażoną w odnośnych jednostkach, to do nowej algebry możemy włączyć trygonometrię. algebra rozwija się więc jako nowa ogólna nauka analityczna, w ramach której rozważamy własności różnych funkcji nieznanych argumentów. I wreszcie poszczególne funkcje, takie jak trygonometryczne. logarytmiczne czy algebraiczne uogólniamy w idee “wszelkich funkcji”.

Zbyt daleko posunięta generalizacja prowadzi do jałowości. Szeroka generalizacja, ograniczona szczęśliwie dobranym konkretem, jest płodna. Na przykład idea funkcji ciągłej, wprowadzająca ograniczenie ciągłości, to idea płodna, która znalazła ciekawe zastosowania. Ten rozwój analizy algebraicznej zbiegł się z odkryciem przez Kartezjusza geometrii analitycznej, a potem rachunku różniczkowego przez Newtona i Leibniza. Gdyby Pitagoras był w stanie przewidzieć skutki zapoczątkowanego przez siebie ciągu myślowego, poczułby się godny Bractwa i jego podniecających, tajemniczych rytuałów.

Chciałbym teraz zwrócić uwagę na okoliczność, iż upowszechnienie się idei funkcji w abstrakcyjnej dziedzinie matematyki znalazło odzwierciedlenie w porządku przyrody pod maską wyrażonych matematycznie praw przyrody. Bez tego postępu matematyki rozwój nauki w wieku XVII byłby niemożliwy. Matematyka dostarczyła pożywki wyobraźni, którą się kierowali badacze dokonujący obserwacji przyrody. Twierdzenia formułowali wszyscy: Galileusz, Kartezjusz, Huyghens, Newton.

Rozpatrzmy pojęcie okresowości jako szczególny przykład wpływu abstrakcyjnych odkryć matematyki na naukę tego okresu. Ogólne powtarzanie się rzeczy jest oczywiste dla zdroworozsądkowego obserwatora. Powracają dni, fazy Księżyca, pory roku, obracające się ciała wracają do dawnego położenia, powtarzają się uderzenia serca i oddech. Powtarzalność jest wszędzie. Bez powtarzalności nie byłoby wiedzy, nie można by bowiem odwoływać się do minionego doświadczenia. Bez pewnych prawidłowości w powtarzaniu się zjawisk nie można byłoby dokonywać pomiarów. Dla naszego doświadczenia, zwłaszcza gdy uzyskamy ideę dokładności, powtarzalność jest czymś podstawowym.

W wiekach XVI i XVII teoria okresowości zajmowała znaczącą pozycję w nauce. Kepler podał prawo wiążące główne osie orbit planetarnych z okresami, w których odnośne planety obiegały swoje orbity. Galileusz obserwował okresowe wahania wahadeł. Newton wyjaśniał, że dźwięk powstaje w wyniku zakłócenia powietrza spowodowanego przechodzeniem przez nie okresowych fal kondensacji i rozproszenia. Huyghens wyjaśniał światło jako skutek poprzecznych fal wibracji subtelnego eteru. Mersenne łączył okres drgań struny skrzypiec z jej grubością, napięciem i długością. Narodziny nowożytnej fizyki są skutkiem zastosowania abstrakcyjnej idei okresowości do całego szeregu konkretnych przykładów. To zaś byłoby niemożliwe, gdyby matematycy nie wypracowali pewnych abstrakcyjnych idei skupiających się wokół pojęcia okresowości.

Trygonometria jako nauka zrodziła się z badań nad stosunkami kątów w trójkątach prostokątnych, nad stosunkami boków i przeciwprostokątnej trójkątów. Potem, pod wpływem świeżo wynalezionej matematycznej analizy funkcji rozszerzyła się obejmując proste abstrakcyjne funkcje okresowe, których przykładem są te stosunki. Trygonometria stała się wiec dyscypliną całkowicie abstrakcyjną – a stając się abstrakcyjną, zaczęła być pożyteczna. Rozjaśniła podstawową analogię między zbiorami całkowicie różnych zjawisk fizycznych, a zarazem dostarczyła narzędzi, dzięki którym można było analizować i porównywać różne cechy takich zbiorów.

Nic nie robi większego wrażenia niż okoliczność, ze w miarę jak matematyka wycofywała się w coraz wyższe regiony abstrakcji, coraz przemożniej wracała na ziemię zyskując ogromne znaczenie przy analizach konkretnych faktów. Historia siedemnastowiecznej nauki wydaje się wyrazistym snem Platona albo Pitagorasa. A pod tym względem stulecie to było prekursorem następnych.

Mamy więc wyraźny paradoks: najogólniejsze abstrakcje to doskonałe instrumenty pozwalające kontrolować myślenie o konkretnych faktach. W wyniku dominacji matematyków w wieku XVII stulecie XVIII odznaczało się matematycznym nastawieniem, szczególnie tam, gdzie przeważały wpływy francuskie. Trzeba zrobić wyjątek dla angielskiego empiryzmu Locke’a. Poza Francją bezpośrednie wpływy Newtona na filozofię przejawiają się najpełniej u Kanta, nie u Hume’a.

W wieku XIX wpływy matematyki osłabły. Ruch romantyczny w literaturze i ruch idealistyczny w filozofii nie stanowiły dzieła umysłów matematycznych. A nawet w nauce rozwój geologii, zoologii i w ogóle nauk biologicznych nie był powiązany z rozwojem matematyki. Najmodniejszym kierunkiem naukowym stulecia była darwinowska teoria ewolucji. Matematycy pozostali w cieniu w stosunku do tej podstawowej teorii stulecia. Nie oznacza to jednak, że matematykę zaniedbano, lub że utraciła wpływy. W wieku XIX czysta matematyka dokonała niemal takich samych postępów co w czasie całego okresu od Pitagorasa do roku 1800. Postęp był oczywiście łatwiejszy, gdyż technika została udoskonalona. A mimo to przemiany matematyki między rokiem 1800 a 1900 są godne uwagi. Jeżeli dodamy poprzednie stulecie i uwzględnimy te dwa stulecia poprzedzające nasze, ulegniemy pokusie określenia daty narodzin matematyki na ostatnie ćwierćwiecze wieku XVII. Okres odkryć cząstkowych rozciągał się od Pitagorasa do Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaś nauka dojrzała ukształtowała się na przestrzenia ubiegłych 250 lat. Nie chodzi o wychwalanie ducha współczesności, gdyż trudniej dokonać odkryć cząstkowych niż rozwinąć naukę.

W wieku XIX matematyka wpływała na dynamikę i fizykę, a pośrednio na mechanikę i chemię. Trudno przecenić jej pośredni wpływa na życie ludzkie, wywierany za pośrednictwem tych nauk. Ale matematyka nie wpływała bezpośrednio na myśl epoki.

Dokonawszy tego krótkiego przeglądu wpływów matematyki na myśl europejską w jej dziedzinach widzimy, że miały miejsce dwa okresy bezpośredniego wpływu na myśl w ogóle, oba zaś trwały po około dwieście lat. Pierwszy okres trwał od Pitagorasa do Platona, kiedy myśliciele greccy zdali sobie sprawę z możliwości zbudowania tej nauki i z jej ogólności. Drugi okres obejmuje wiek XVII i XVIII epoki nowożytnej. Obydwa okresy charakteryzują się pewnymi wspólnymi cechami. W obu ogólne kategorie myślowe w różnych dziedzinach ludzkich zainteresowań uległy daleko idącej dezintegracji. W okresie pitagorejskim podświadome pogaństwo, w tradycyjnej szacie pięknego rytuału i magicznych obrzędów, weszło w nową fazę pod wpływem dwóch czynników. Pojawiły się fale religijnego uniesienia, poszukiwano bezpośredniego oświecenia w tajemnych głębiach bytu; z drugiej strony budziła się krytyczna myśl analityczna, z chłodną bezstronnością badająca ostateczny sens rzeczy. W obu czynnikach, mimo różnych skutków ostatecznych, wykrywamy element wspólny – rozbudzoną ciekawość, dążenie do przebudowy tradycyjnego sposobu myślenia. Misteria pogańskie można porównać z reakcją purytańską i katolicką, krytycyzm naukowy był w obu epokach podobny, choć różnił się w szczegółach mniejszej wagi.

W każdej z tych epok wcześniejsze ich fazy przypadały w okresach względnego dobrobytu i nowych możliwości. Różniły się one pod tym względem od schyłkowości II i III wieku, gdy chrześcijaństwo opanowywało świat rzymski. Tylko w okresie, który dostarcza zarazem szansy oderwania się od codzienności i rozbudza ciekawość, duch epoki może poddać bezpośredniej rewizji najgłębsze abstrakcje ukryte pod powierzchnią bardziej konkretnych pojęć, z których wychodzi poważna myśl danego okresu. W tych rzadkich okresach, kiedy można się tego podjąć, matematyka zaczyna się liczyć w filozofii. Matematyka jest bowiem nauką najpełniej abstrakcyjną, na jaką stać ludzką myśl.

Nie należy posuwać się zbyt daleko w porównywaniu obydwu epok. Świat nowożytny jest rozleglejszy i bardziej złożony niż cywilizacja starożytna wokół basenu Morza Śródziemnego, a nawet niż Europa, która wysłała Kolumba i pielgrzymów z “Mayflower” przez ocean. Nie możemy wyjaśnić naszych czasów przy pomocy prostej formuły, którą zaakceptowaliby wszyscy i która pozostawałaby niezmienna przez tysiąc lat. Toteż i okresowe wyciszenie umysłowości matematycznej od czasów Rousseau zmierza obecnie ku końcowi. Wchodzimy w okres przebudowy religijnej, naukowej i politycznej. Jeżeli takie okresy pragną uniknąć zwykłego miotania się między skrajnościami, muszą sięgać po prawdy najgłębsze. Nie może być wizji owej głębi prawdy bez filozofii, która uwzględnia najdalsze abstrakcje – a powiązania takich abstrakcji bada właśnie matematyka.

Aby wyjaśnić, jak to się dziej, ze matematyka zyskuje obecnie na znaczeniu, zacznijmy od pewnego problemu naukowego i przyjrzyjmy się pojęciom, do których sięgamy spontanicznie pragnąc pokonać trudności. Fizyka boryka się obecnie z teorią kwantów. Tym, którzy jeszcze jej nie znają, nie muszę teraz wyjaśniać, na czym ona polega. Problem sprowadza się do ego, że największe nadzieje związane są z wyjaśnieniem opartym na założeniu, iż elektron nie przebywa w sposób ciągły swej drogi w przestrzeni. Alternatywna koncepcja sposobu istnienia elektronu ujmuje go jako ciąg dyskretnych pozycji w przestrzeni zajmowanych przez kolejne okresy czasu. To tak jakby samochód jadący z prędkością sześćdziesięciu kilometrów na godzinę nie przebywał drogi w sposób ciągły, lecz pojawia się kolejno przy kamieniach kilometrowych, pozostając przy każdym po jednej minucie.

Wymaga to przede wszystkim czysto technicznego zastosowania matematyki dla stwierdzenia, czy koncepcja ta faktycznie wyjaśnia kłopotliwe właściwości teorii kwantów. Jeśli koncepcja wytrzyma tę próbę, fizyka z pewnością ją zaakceptuje. Jak dotąd kwestia ta należy wyłącznie do matematyki i nauk fizykalnych, one też muszą ją rozstrzygnąć na podstawie obliczeń matematycznych i obserwacji fizycznych.

Następnie problem zostanie przekazany filozofom. Nieciągłe istnienie w przestrzeni przypisywane elektronom nie przypomina ciągłego istnienia bytów materialnych, które z nawyku przyjmujemy za oczywiste,. Elektron wydaje się nabierać cech przypisywanych przez niektórych ludzi mahatmom z Tybetu. Elektrony te, wraz z odpowiadającymi im protonami, mają mianowicie być podstawowymi jednostkami, z jakich składają się ciała materialne dostępne potocznemu doświadczeniu. Jeśli wiec dopuścimy to wyjaśnienie, musimy zrewidować nasze koncepcje podstawowych cech istnienia materialnego. Kiedy bowiem dotrzemy do tych podstawowych składników, odsłoni się przed nami zdumiewająca nieciągłość istnienia przestrzennego.

Nie będzie trudności z wyjaśnienie tego paradoksu, jeżeli zgodzimy się na zastosowanie do pozornie stałej niezróżnicowanej trwałości materii tych samych zasad, które przyjmujemy obecnie w odniesieniu do dźwięku i światła. Ciągły dźwięk wyjaśniamy jako wynik drgań powietrza, niezmienną barwę jako wynik drgań eteru. Jeżeli na takiej samej zasadzie wyjaśnimy trwałość materii, będziemy sobie wyobrażać każdy pierwotny jej składnik jako przejawiający się drganiem przypływ i odpływ podstawowej energii ruchu. Przypuśćmy, ze pozostaniemy przy fizycznej koncepcji energii – wówczas każdy składnik podstawowy będzie zorganizowanym układem drgań rozchodzącej się energii. Zgodnie z tym stwierdzeniem każdemu składnikowi przypiszemy określone trwanie, a w ramach tego trwania układ będzie przechodził od jednego stacjonarnego maksimum do innego stacjonarnego maksimum, lub, by się posłużyć analogią z przypływami oceanów, układ będzie przechodził od przypływu do odpływu. Ten układ, składający się na podstawowy składnik materii, będzie niczym w każdej poszczególnej chwili. Trzeba całego okresu, by się ujawnił. I analogicznie, nuta muzyczna jest niczym w każdym ułamku sekundy, i trzeba całego okresu, by się ujawniła.

Jak więc pytając o składniki podstawowe musimy poprzestać na ich przeciętnej, średniej pozycji w środku każdego okresu. Jeżeli czas podzielimy na mniejsze jednostki, układ drgań jako jednostka elektronowa nie istnieje. Przestrzenna droga takiej jednostki drgań – na której jednostka jest przez te drgania tworzona – musi być przedstawiona jako sekwencja oddzielnych pozycji w przestrzeni, analogicznie do samochodu, który odnajdujemy przy kolejnych kamieniach kilometrowych, ale nigdzie między nimi.

Musimy zapytać, czy istnieją jakieś dane, by kojarzyć teorię kwantów z drganiami. Pytanie posiada odpowiedź twierdząca. Cała teoria opiera się na koncepcji promieniującej energii atomu i jest natychmiast kojarzona z okresami rozchodzenia się układów falowych. Wydaje się przeto, iż hipoteza zasadniczo drganiowego istnienia rokuje największe nadziej na wyjaśnienie paradoksu nieciągłej orbity.

Po drugie, przed filozofami i fizykami staje obecnie nowy problem, skoro już przyjmiemy, że podstawowe składniki materii są z gruntu drganiowe. Mam na myśli fakt, że poza układem okresowym składnikom takim nie przysługuje istnienie. Przyjąwszy te hipotezę musimy zapytać, jakie to elementy składają się na organizm drganiowy. Już się pozbyliśmy materii o cechach niezróżnicowanej trwałości. Poza pewnym nawykiem metafizycznym nie ma powodu by wymyślać subtelniejsze tworzywo dla zastąpienia materii, która właśnie odrzuciliśmy. Stoi przed nami otworem możliwość zaproponowania nowej doktryny organicznej dla zastąpienia materializmu, ciążącego na filozofii pod wpływem nauki od XVII wieku. Trzeba pamiętać, ze energia fizyków to naturalnie abstrakcja. Fakt konkretny, organizm, musi być pełna manifestacja natury rzeczywistego zdarzenia. Takie odrzucenie materializmu naukowego, jeżeli doń dojdzie, musi wywrzeć poważny wpływ na wszystkie dziedziny myśli ludzkiej.

I na zakończenie, musimy pamiętać, że powróciliśmy do pewnej wersji doktryny starego Pitagorasa, z której narodziła się matematyka i fizyka matematyczna. Odkrył on znaczenie posługiwania się abstrakcją, zwracając w szczególności uwagę na liczbę jako coś, co charakteryzuje okresowość nut muzycznych. Znaczenie tej abstrakcyjnej idei okresowości pojawiło się więc na samym początku matematyki i filozofii europejskiej.

Narodziny nowożytnej nauki w wieku XVII wymagały nowej matematyki, lepiej przygotowanej do analizy cech istnienia drganiowego. A teraz, w wieku XX stwierdzamy, że fizycy zajmują się głównie analizami okresowości atomów. Istotnie, kiedy Pitagoras kładł podwaliny pod europejską filozofię oraz matematykę, wyposażył jen w nader fortunny domysł… a może był to przebłysk boskiego geniuszu, przenikającego najgłębsza naturę rzeczy?

 

Skomentuj

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

*

code